总结、知识易混点整理、补充知识
总结
前前后后花了一个月左右把mit 18.06学完了，收获颇丰，感谢教授。
这门课第一章从（方程组 + 矩阵 + 四个基本子空间）出发，讨论了线性代数的基本元素：向量、矩阵、空间。最后用所学知识对电势差问题建模，得到了许多优美的结论。
第二章开始研究矩阵各种性质，例如正交、投影、行列式、特征值、对角化。并在结尾用马尔可夫矩阵寻找稳态，用正交性对傅里叶级数建模。
第三章仍然是研究矩阵的各种性质，例如对称、正定、相似、SVD分解。以及将线性变换和矩阵统一起来。利用基变换实现图像压缩展示了线性变换的优美之处。
总之，这门课不仅帮我扎实的打好了线代基础，而且给了我理解线代的上层视角。以及：马尔可夫矩阵、对角化、SVD分解、基变换压缩这三个知识点也给了我科研上的启发，说不定哪天就可以作为trick来优化我的算法。
知识点易混点整理
- 如何理解矩阵\(A\)可对角化的条件是：“有n个线性无关的特征向量”?
- 因为我们在推对角化公式的时候，用的是\(AS = S\Lambda\)。\(S\)是n个特征向量排成的方阵
- 因为要右乘\(S^{-1}\)，所以就要保证\(S\)的n个列向量线性无关，即\(A\)有n个线性无关的特征向量
- 这样才能推出：\(A = S\Lambda S^{-1}\)
- 上面那个判据太困难了，有什么等价判据？
- 若\(A\)有n个互不相同的特征值，则\(A\)有n个线性无关的特征向量
- 但若没有，则不能说\(A\)一定没有n个线性无关的特征向量
- 所以我们判断一个矩阵是否可对角化，可转换为求其特征值的问题。
- \(A\)有n个线性无关的特征向量 和
\(A\)的各列线性无关有什么关系？
- 前者可推后者，后者不可推前者
- 我来证一下前者可推后者，因为对于特征向量x，有\(Ax = \lambda x\)，所以\(\lambda x\)是通过\(A\)进行列变换得到的，那仅仅通过列变换就可以得到一组线性无关的向量，相当于变换后的列空间就是\(\mathrm{R}^n\)。而列变换不改变列空间，所以\(C(A) = \mathrm{R}^n\)，所以\(A\)的各列线性无关。
- 对称矩阵一定可以对角化吗？若可以，它的对角化有什么特别之处？
- 是的一定可以。
- 对称矩阵\(A\)可以对角化。那么可写为：\(A = S\Lambda S^{-1}\)
- 因为对称矩阵有个很好的性质就是：可选出一组正交特征向量。所以\(S\)可以是完全正交的，再将其标准化一下，即可得到正交阵\(Q\)。
- 正交阵有一个很好的性质：\(Q^{-1} = Q^T\)
- 所以可对角化的对称矩阵\(A\)可对角化为：\(A = Q\Lambda Q^\mathrm{T}\)
- 正定矩阵有什么好处吗？
- 首先正定矩阵是对称矩阵的一个子集，对称矩阵已经有一些很好的性质了，正定矩阵除了有对称矩阵的性质，还有其余很好的性质。比如一定可逆而且\(x^\mathrm{T}Ax > 0\)。
- 如果快速获得一个对称矩阵？\(A^\mathrm{T}A\)，\(xx^\mathrm{T} / AA^\mathrm{T}\)
- 如果快速获得一个正定矩阵？\(A^\mathrm{T}A, r(A) = n\)